Jože Leskovar se je rodil 22. avgusta 1934 v Slovenski Bistrici očetu Jožefu in materi Mariji, rojeni Kos. Odraščal je v veliki družini, saj je imel pet sester in dva brata: Marijo, poročeno Korošec, Karla, Cecilijo, Terezijo, poročeno Klajderič, Marto (umrla stara 12 dni), Alojzijo, poročeno Gerčar, in Florijana.
Po osnovnem šolanju v Slovenski Bistrici in na učiteljišču v Mariboru je bil leta 1953 z dekretom postavljen za učitelja na Pernicah. Že po nekaj mesecih je bil prestavljen na Osnovno šolo Slovenj Gradec, kjer je bil ustanovitelj Glasbene šole in prvi učitelj klavirja. Nekaj časa je bil ravnatelj na Osnovni šoli Šmiklavž, leta 1958 pa se je vrnil v Slovenj Gradec.
Tega leta se je tudi poročil s Slavico, rojeno Velak iz Radelj ob Dravi. V zakonu sta se jima rodila otroka Dušan, 1959 in Dean, 1962.
Ob učnem delu, ki ga je opravljal na osnovni in v glasbeni šoli se je izobraževal na Pedagoški akademiji. Leta 1964 si je pridobil diplomo predmetnega učitelja glasbe. Štiri leta kasneje je prevzel dolžnosti pomočnika ravnatelja OŠ Slovenj Gradec. V letu 1984 pa je postal ravnatelj Glasbene šole Slovenj Gradec, ki jo je vodil do upokojitve leta 1993. Ob svojem poklicnem delu je razvijal še široko kulturno delovanje. Bil je vodja številnih pevskih zborov in na njegovo pobudo so se začele na Koroškem organizirati občinske in medobčinske revije mladinskih in odraslih zborov (Koroška poje) in skrbel za povezave s koroškimi in tržaškimi Slovenci. Kot glasbeni pedagog je Leskovar vplival na strokovne usmeritve v različnih glasbenih komisijah pri Pevski zvezi Slovenije. Kot neutruden glasbeni delavec je poskrbel za obnovo Glasbene šole, pridobil nova glasbila in kade, ter se lotil raziskovanja korenin svetovno znanega skladatelja Huga Wolfa, za katerega je tudi dokazal, da je slovenskega porekla (Vouk). Zbiral je njegovo zapuščino in rojstno hišo skladatelja spremenil v muzej. Kot odličen zborovodja je harmoniziral številne ljudske pesmi. Nekatere druge tekste je tudi uglasbil: Prešernovo Zdravljico, Minattijevo pesem Kurirček, Kosmačevo Kurirko Lenko (posebna nagrada na festivalu Kurirček v Mariboru leta 1982), molitev Oče naš, Peruzzijevo V tihi noči … Kot glasbenik zaznamuje glasbeno in pevsko podobo koroške krajine, razširja razglede po Wolfovem življenjepisu in utrjuje vlogo Slovenj Gradca kot pomembnega glasbenega središča. Položil je temelje za nastanek Wolfovega muzeja in Društva Hugo Wolf ter sodeloval pri izdaji del o Hugu Wolfu. Slovensko društvo Hugo Wolf Slovenj Gradec je bilo ustanovljeno 31. maja 1993, za prvega predsednika je bil izvoljen Jože Leskovar, 14. oktobra 1995 je pa bil imenovan za častnega člana Društva Hugo Wolf Slovenj Gradec. Bil je tajnik prireditvenega odbora prireditev v počastitev Wolfove stotridesetletnice rojstva (1990) in je soavtor dokumentarnega filma o Hugu Wolfu ter začetnik tradicionalne mednarodne poletne solopevske šole Hugo Wolf. Ob njegovi 70-letnici so mu pripravili posebno praznovanje in mu v zahvalo za njegovo delo izdali tri glasbene zgoščenke z njegovimi pesmimi (Zabučale gore).
Oktobra 2015 je Jože Leskovar za ustvarjalno in poustvarjalno delo na glasbenem, pedagoškem in historično glasboslovnem področju prejel naziv častnega občana Mestne občine Slovenj Gradec.